2b:null 2c:["$","title",null,{"children":"8. B-Spline | Attila Bagossy | Observable"}] 31:T46f,md` Ha a fenti képletben szereplő, egyelőre nem definiált ${tex`b`} függvény jó tulajdonságokkal rendelkezik, akkor a görbe is örökölni fogja azokat: * Ha ${tex`b(t)`} az értelmezési tartománynak csak egy kis részén vesz fel nullától különböző értéket, akkor a ${tex`\gamma(t)`} függvényben szereplő összeg szintén csak néhány nullától különböző tagból fog állni. Ennek eredményeként bármely ${tex`t`} esetén csak korlátozott számú kontrollpont kombinációja adja az adott paraméterértékhez tartozó görbepontot. * Ha ${tex`b(t)`} olyan, hogy ${tex`\sum b(t-i) = 1`} teljesül bármely ${tex`t`} esetén, akkor a ${tex`\gamma(t)`} függvény nem más, mint a kontrollpontok affin kombinációja. Ez azt jelenti, hogy az előállított görbe az affin transzformációkra nézve invariáns lesz. * Ha az előző tulajdonság mellett ${tex`b(t) \in [0, 1]`} bármilyen ${tex`t`} értékre, akkor a ${tex`\sum\limits_{i=0}^{n} b(t - i) \cdot P_i`} összeg a kontrollpontok konvex kombinációja. Ez garantálja, hogy a görbe a kontrollpontok konvex burkán belül fog haladni. `32:T60e,{ const heading = md` ### 1. grafikon #### Nulladfokú B-Spline súlyfüggvények a ${tex`[0, 1, 2, 3]`} csomóvektor esetén Az ${tex`x`}-tengely a ${tex`t`} paramétert, az ${tex`y`}-tengely pedig a súlyfüggvény adott ${tex`t`}-hez tartozó értékét ábrázolja. Egyszerre mindig csak egy függvény vesz fel nullától különböző értéket: előbb az ${tex`N_{0, 0}`}, majd az ${tex`N_{1, 0}`}, végül pedig az ${tex`N_{2, 0}`}. ` const legends = [{ content: tex`N_{0, 0}`, color: $plot.consts.colors[0] }, { content: tex`N_{1, 0}`, color: $plot.consts.colors[1] }, { content: tex`N_{2, 0}`, color: $plot.consts.colors[2] }] const data = [{ fn: `1`, color: $plot.consts.colors[0], range: [0, 1] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[0], range: [1, 3] }, { fn: `1`, color: $plot.consts.colors[1], range: [1, 2] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[1], range: [0, 1] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[1], range: [2, 3] }, { fn: `1`, color: $plot.consts.colors[2], range: [2, 3] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[2], range: [0, 2] }].map(o => Object.assign({}, { sample: 'builtIn', graphType: 'polyline' }, o)) const plotConfig = { disableZoom: true, grid: true, xAxis: { domain: [0, 3], label: 't' }, yAxis: { domain: [-0.25, 1.25] }, data } return $plot.emitters.twoColumnPlot(heading, legends, plotConfig) }33:T32be,html`

`34:T748,{ const heading = md` ### 2. grafikon #### Elsőfokú B-Spline súlyfüggvények a ${tex`[0, 1, 2, 3, 4]`} csomóvektor esetén Az ${tex`x`}-tengely a ${tex`t`} paramétert, az ${tex`y`}-tengely pedig a súlyfüggvény adott ${tex`t`}-hez tartozó értékét ábrázolja. Vegyük észre, hogy * mindegyik súlyfüggvény két paramétertartományon vesz fel nullától különböző értéket, * a két belső csomótartományon egyszerre két súlyfüggvény is nullától különböző értékkel rendelkezik. ` const legends = [{ content: tex`N_{0, 1}`, color: $plot.consts.colors[0] }, { content: tex`N_{1, 1}`, color: $plot.consts.colors[1] }, { content: tex`N_{2, 1}`, color: $plot.consts.colors[2] }] const data = [{ fn: `x`, color: $plot.consts.colors[0], range: [0, 1] }, { fn: `2 - x`, color: $plot.consts.colors[0], range: [1, 2] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[0], range: [2, 4] }, { fn: `x - 1`, color: $plot.consts.colors[1], range: [1, 2] }, { fn: `3 - x`, color: $plot.consts.colors[1], range: [2, 3] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[1], range: [0, 1] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[1], range: [3, 4] }, { fn: `x - 2`, color: $plot.consts.colors[2], range: [2, 3] }, { fn: `4 - x`, color: $plot.consts.colors[2], range: [3, 4] }, { fn: `0`, color: $plot.consts.colors[2], range: [0, 2] }].map(o => Object.assign({}, { sample: 'builtIn', graphType: 'polyline' }, o)) const plotConfig = { disableZoom: true, grid: true, xAxis: { domain: [0, 4], label: 't' }, yAxis: { domain: [-0.25, 1.25] }, data } return $plot.emitters.twoColumnPlot(heading, legends, plotConfig) }35:T458,md` A függvény definíciójában szerepel, hogy ${tex`t \in [t_p, t_{n + 1}]`}, ami felveti a kérdést, hogy miért nem fut végig ${tex`t`} az első és az utolsó csomó közötti teljes intervallumon? Már felírtuk, hogy egy csomótartományon legfeljebb ${tex`p + 1`} darab ${tex`p`}-edfokú súlyfüggvény lehet nullától különböző. A görbepontok számítása során csak azokat a csomótartományokat vesszük figyelembe, melyek fölött a maximális számú, ${tex`p + 1`} darab ${tex`p`}-edfokú súlyfüggvény tér el nullától. Az első ilyen tartomány a ${tex`[t_{p}, t_{p + 1})`}, mivel efölött az ${tex`N_{p - p, p}(t), \ldots, N_{p, p}(t)`} függvények lesz nullától különbözőek, ahol ${tex`N_{0, p}(t)`} nem más, mint az első kontrollponthoz tartozó ${tex`p`}-edfokú súlyfüggvény. Az utolsó, a feltételnek eleget tevő csomótartomány pedig a ${tex`[t_n, t_{n + 1})`}, hiszen ezen az ${tex`N_{n - p, p}(t), \ldots, N_{n, p}(t)`} függvények bírnak nullától eltérő értékkel, ahol ${tex`N_{n, p}(t)`} az utolsó kontrollponthoz tartozó súlyfüggvény. `36:T4d7,md` Az első és az utolsó kontrollpontok érintését megfelelő csomók segítségével tudjuk elérni. Legyen a görbe fokszáma ${tex`p`}, kontrollpontjainak száma ${tex`n + 1`}! Ekkor ${tex`n + p + 2`} darab csomóval rendelkezünk. Ahhoz, hogy a görbe érintse az első kontrollpontot, az első csomónak ${tex`p + 1`} multiplicitással kell rendelkeznie, azaz ${tex`t_0 = t_1 = \ldots = t_{p}`}. Ekkor a ${tex`P_0`} kontrollponthoz tartozó ${tex`p`}-edfokú súlyfüggvény ${tex`N_{0, p}(t)`}. Ez ${tex`p + 1`} csomótartományon lesz nullától különböző, mely a ${tex`[t_0, t_{p + 1})`} intervallum. Mivel ${tex`t_0 = t_1 = \ldots = t_p`}, ezért az ezen csomók által meghatározott csomótartományok eltűnnek, azt eredményezve, hogy az ${tex`N_{0, 0}(t), N_{1, 0}(t), \ldots, N_{p - 1, 0}(t)`} súlyfüggvények mindig nullát fognak felvenni, bármely ${tex`t`}-re. Csak ${tex`N_{p, 0}(t)`} lesz nullától különböző (azaz ${tex`1`}), aminek köszönhetően ${tex`b(t_p) = P_0`}. Az utolsó kontrollpont érintése is hasonlóan vezethető le, melyhez ${tex`p + 1`} multiplicitású utolsó csomó szükséges. Mindenképpen próbáljuk ki a csomóvektor ilyen összeállítását a demonstrációban is! `37:T594,md` Legyen a görbe fokszáma ${tex`p`}, kontrollpontjainak száma ${tex`n + 1`}! Ekkor a B-Spline görbe a következő tulajdonságokkal rendelkezik. * A ${tex`b(t)`} függvény által leírt görbe ${tex`p`}-edfokú szegmensekből épül fel. Minél magasabb a fokszám, annál távolabb kerül a görbe a kontrollpoligontól, míg ${tex`p = 1`} esetén a görbe a kontrollpontokat összekötő töröttvonallal esik egybe. * A görbe adott ${tex`t`} esetén, ha ${tex`t \in [t_i, t_{i + 1})`}, akkor a ${tex`P_{i - p}, P_{i - p + 1}, \ldots, P_{i}`} kontrollpontok konvex burkában halad. Ez erősebb, mint az egyszerű konvex burok tulajdonság, amit például a Bézier-görbe esetén láttunk. * A görbe az affin transzformációkra nézve invariáns. Ez következik abból, hogy ${tex`b(t)`} a kontrollpontok affin kombinációja. * A görbe lokálisan változtatható, azaz a ${tex`P_i`} kontrollpont elmozdítása csak a ${tex`[t_i, t_{i + p + 1})`} tartományon változtatja meg a görbe alakját. Ez következik abból, hogy a ${tex`P_i`}-hez tartozó ${tex`N_{i, p}`} súlyfüggvény csak ezen az intervallumon vesz fel nullától különböző értéket. Ha ${tex`t`} ezen a tartományon kívül esik, akkor ${tex`N_{i, p}(t)=0`}. * ${tex`b(t)`} egy ${tex`k`} multiplicitású csomóban ${tex`C^{p - k}`} folytonos. Érdemes ismét visszatérni a demonstrációhoz, és megvizsgálni a leírt tulajdonságokat! `38:T583,Szegmens_sulyfuggvenyek = { const heading = md` ### 3. grafikon #### Harmadfokú B-Spline súlyfüggvények Az ${tex`x`}-tengely a ${tex`t`} paramétert, az ${tex`y`}-tengely pedig a súlyfüggvény adott ${tex`t`}-hez tartozó értékét ábrázolja. A súlyfüggvények nevei mellett a hozzájuk tartozó geometriai adatot láthatjuk. Vegyük észre, hogy egyetlen súlyfüggvény sem éri el az ${tex`1`}-et! ` const legends = [{ content: tex`b_{0} \quad | \quad P_{0}`, color: $plot.consts.colors[0] }, { content: tex`b_{1} \quad | \quad P_{1}`, color: $plot.consts.colors[1] }, { content: tex`b_{2} \quad | \quad P_{2}`, color: $plot.consts.colors[2] }, { content: tex`b_{3} \quad | \quad P_{3}`, color: $plot.consts.colors[3] }] const k = 0.5 * (1 - 0) const data = [{ fn: `(1/6) *((-1*(x^3)) + (3 * (x^2)) + (-3 * x) + 1)` }, { fn: `(1/6) *((3*(x^3)) + (-6 * (x^2)) + 4)` }, { fn: `(1/6) * ((-3*(x^3)) + (3 * (x^2)) + (3 * x) + 1)` }, { fn: `(1/6) * (x^3)` }].map(o => Object.assign({}, { range: [0, 1], sample: 'builtIn', graphType: 'polyline' }, o)) const plotConfig = { disableZoom: true, grid: true, xAxis: { domain: [0, 1], label: 't' }, yAxis: { domain: [-0.1, 1] }, data } return $plot.emitters.twoColumnPlot(heading, legends, plotConfig) }39:T40e,initFig_NUBS = { const cpbp = $figure.boilerplate.controlPoint(-1) const update = function recalculate() { mutable cp_NUBS = cpbp.controlPoints } cpbp.canvas.addEventListener('mousedown', event => { cpbp.onMouseDown($utility.mouse.getCoordinates(event), event) update() }) cpbp.canvas.addEventListener('mousemove', event => { cpbp.onMouseMove($utility.mouse.getCoordinates(event), event) if (cpbp.getDraggedPoint()) { update() } }) cpbp.canvas.addEventListener('mouseup', event => { cpbp.onMouseUp($utility.mouse.getCoordinates(event), event) update() }) const drawEmptyCircle = $drawing.drawers.emptyCircle(cpbp.reglInstance) const drawFilledCircle = $drawing.drawers.filledCircle(cpbp.reglInstance) const drawLineStrip = $drawing.drawers.lineStrip(cpbp.reglInstance) const drawArrow = $drawing.drawers.arrow(cpbp.reglInstance) return Object.assign({}, cpbp, { drawEmptyCircle, drawFilledCircle, drawLineStrip, drawArrow }) }3a:[] 2f:{"id":"a5ccf26a3ea592e3","slug":"8-b-spline","title":"8. B-Spline","thumbnail":"48e08e79829f28fd9a95202802cfa8376f29bafeb9aeb1eaf1ebc814aac30ec7","access_level":"public","create_time":"$D2018-10-06T16:36:21.971Z","update_time":"$D2020-03-25T07:27:34.307Z","view_time":null,"first_public_time":"$D2018-10-08T10:46:37.387Z","fork":false,"stars":0,"starred":false,"owner":{"type":"team","id":"ef739838e5a1d607","login":"battila7","name":"Attila Bagossy","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/90b1460199ec3e040db6a772368bce18487f1a014e7f564bfbc73d51132a4e07","tier":"starter_2024"},"version":421,"publish_version":421,"role":null,"authored":false,"authors":[{"type":"individual","id":"6afecd2e2d5dcc78","login":"battila7","name":"Attila Bagossy","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/90b1460199ec3e040db6a772368bce18487f1a014e7f564bfbc73d51132a4e07","tier":null}],"members":[{"type":"individual","id":"6afecd2e2d5dcc78","login":"battila7","name":"Attila Bagossy","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/90b1460199ec3e040db6a772368bce18487f1a014e7f564bfbc73d51132a4e07","tier":null,"role":"editor"}],"comments":[],"custom_thumbnail":false,"trashed":false,"lapsed":null,"subscribed":null,"forks":0,"collection":{"id":"292318ad1a566f4a","slug":"komputergrafika","title":"Komputergrafika","owner":{"id":"ef739838e5a1d607","login":"battila7","name":"Attila Bagossy"}},"type":"notebook","body":{"title":"8. B-Spline","cells":[{"id":0,"value":"md`# 8. B-Spline`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":4,"value":"md`## Bevezetés, avagy miért szükséges a B-Spline?`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":6,"value":"md`\nA megelőző fejezetekben már számos különböző görbetípussal megismerkedtünk, melyek különböző paramétereket igényeltek, és igen eltérő tulajdonságokkal rendelkeztek. Miért van szükség egy újabb fajta görbére, melyek azok a problémák, melyek az eddig bemutatott görbékkel egyáltalán nem, vagy csak szuboptimális módon oldhatóak meg?\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":38,"value":"md`\nAz Hermite-ív előnytelen voltáról már a Bézier-görbével kapcsolatos fejezetben is volt szó. Az, hogy ehhez a görbetípushoz explicit módon meg kell adnunk az érintővektorokat, kényelmetlenné teszi a használatát. Ráadásul a kontrollpontok számának növelése esetén magunknak kell gondoskodnunk a görbék csatlakoztatásáról.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":41,"value":"md`\nA Cardinal Spline az Hermite-ív esetén tapasztalt problémákat megoldja, hiszen az érintővektorok előállítása automatikus, és a megfelelően definiált súlyfüggvények a görbedarabok csatlakozását is biztosítják. Ez az a pont azonban, ahol a Cardinal Spline legnagyobb gyengesége megjelenik. A görbét alkotó görbedarabok csatlakozása csupán ${tex`C^1`} folytonosságú, mely sok esetben nem elégséges. Számtalan esetben ennél magasabb rendű folytonosság szükséges.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":44,"value":"md`\nSzerencsére rendelkezünk még egy görbetípussal a tarsolyunkban, a Bézier-görbével. A Cardinal Spline-hoz hasonlóan a Bézier-görbe esetében is kizárólag kontrollpontokat kell megadnunk geometriai adatként. Megoldja a csatlakozás problémáját is, hiszen tetszőleges számú kontrollpontra tudunk egy darabból álló Bézier-görbét illeszteni, azaz nem lesznek csatlakozási pontok. Mely tulajdonságok alkotják akkor a Bézier-görbe árnyoldalát? \n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":46,"value":"md`\nAz elhelyezett kontrollpontok számával egyenes arányban nő a Bézier-görbe fokszáma is. Például kilenc kontrollpontra már nyolcadfokú görbét fogunk illeszteni! A legtöbb alkalmazás nem igényel ilyen magas fokszámú görbét, emellett számítási instabilitások is megjelenhetnek. Érdemes továbbá azt is kiemelni, hogy a fokszám növelésével a görbe egyre kevésbé fogja közelíteni a kontrollpoligont, valamint annak változásait is egyre kevésbé követi. Ez rendkívül megnehezítheti az alapvető tervezési feladatokat is.\n\nNem szabad elfelejteni azt sem, hogy a Bézier-görbe csak pszeudoglobálisan változtatható. Azaz bármely kontrollpont elmozdítása hatással van a *teljes* görbére.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":49,"value":"md`\nMind a fokszám, mind a pszeudoglobális változtathatóság problémáját meg tudnánk oldani azzal, ha több Bézier-görbe darabot illesztenénk össze. Ez azonban nem más, mint a Cardinal-Spline, ráadásul manuálisan kellene biztosítanunk a megfelelő folytonosságú csatlakozást, ami rendkívül fáradságos.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":52,"value":"md`\nLáthatjuk, hogy az eddig ismert görbetípusokkal nem tudunk tetszőleges folytonosságú csatlakozásokat és egyúttal lokális változtathatóságot biztosítani. A B-Spline görbe fog ebben a szorongatott helyzetben a segítségünkre sietni.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":9,"value":"md`## A B-Spline súlyfüggvények`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":11,"value":"md`\nMost már tudjuk, hogy melyek azok a tulajdonságok, melyekkel az új görbetípusnak rendelkeznie kell. Tervezzük meg ezek alapján a B-Spline görbét! Ehhez először megfelelően megválasztott súlyfüggvényekre van szükség, hiszen a görbét ezúttal is a súlyfüggvények és a geometriai adatok kombinációjaként szeretnénk leírni, valamilyen paramétertartomány fölött értelmezve:`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":18,"value":"tex.block`\n\\gamma(t) = \\sum\\limits_{i=0}^{n} b(t - i) \\cdot P_i .\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":14,"value":"$31","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":55,"value":"\nmd`\nA lokális változtathatóság lehetőségét és a konvex burok tulajdonságot mindenképpen biztosítani szeretnénk. Mi szükséges viszont ahhoz, hogy magasabb, akár tetszőleges fokszámúak legyenek a csatlakozások? Természetesen magasabb fokszámú görbedarabok. Itt érdemes visszagondolni a Bézier-görbére, melynél az okozta a problémát, hogy a görbe fokszáma a kontrollpontok számával arányosan nőtt. Válasszuk tehát el egymástól a kettőt! Tegyük lehetővé, hogy az egyes darabok fokszáma a kontrollpontok számától függetlenül (de azok által meghatározott korlátok között) változtatható legyen!\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":33,"value":"md`### Csomók`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":35,"value":"md`\nTegyük fel, hogy a ${tex`t`} paraméter ${tex`0`} és ${tex`1`} között vehet fel értékeket. Ekkor a ${tex`[0, 1]`} tartományt részekre osztó\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":57,"value":"tex.block`\n0 \\leq t_0 \\leq t_1 \\leq \\ldots \\leq t_m \\leq 1\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":59,"value":"md`\nértékeket *csomóértékeknek* vagy egyszerűen *csomóknak* (*knots*) nevezzük. A csomók egy monoton növekvő sorozatot alkotnak, azaz ${tex`t_i \\leq t_{i + 1}`} bármely ${tex`i`} esetén. A csomók a paramétertartományt csomótartományoknak (*knot span*) nevezett részekre osztják. Az ${tex`i`}-edik csomótartomány a ${tex`[t_i, t_{i + 1})`} intervallum lesz. Mivel az egyenlőség megengedett, egy-egy intervallum akár ${tex`0`} hosszúságú is lehet. Ez akkor fordulhat elő, ha egy csomó többször is megjelenik. Ha a ${tex`t_i`} csomó előfordulásainak száma ${tex`k`}, akkor azt mondjuk, hogy ${tex`t_i`} egy ${tex`k`} multiplicitású csomó.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":70,"value":"\nmd`\nA csomókból egy vektor képezhető (jelölje ezt ${tex`U`}), melyet *csomóvektornak* (*knot vector*) nevezünk. Azt mondjuk, hogy a csomóvektor *uniform*, amennyiben a csomótartományok hossza azonos, azaz az egymást követő csomók közti különbség állandó. Egyébként a csomóvektor *nem-uniform*.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":72,"value":"\nmd`\nA nem-uniform (azaz nem egyenlő hosszúságú) csomótartományok megjelenése miatt a ${tex`b(t - i)`} kifejezés már nem lesz használható a görbét leíró függvényben. Helyette más módon kell megadnunk a súlyfüggvényt, súlyfüggvényeket. \n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":73,"value":"md`### Rekurzív definíció`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":75,"value":"md`\nA B-Spline súlyfüggvényeket egy rekurzív formula segítségével fogjuk megadni. Az ${tex`i`}-edik ${tex`p`}-edfokú B-Spline súlyfüggvényt ${tex`N_{i, p}(t)`}-vel jelöljük, és a következőképpen definiáljuk:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":79,"value":"tex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{i, 0}(t) &= \n \\begin{cases}\n 1, & \\text{ha } t_i \\leq t < t_{i + 1} \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{i, p}(t) &= \\frac{t - t_i}{t_{i + p} - t_i} \\cdot N_{i, p - 1}(t) + \\frac{t_{i + p + 1} - t}{t_{i + p + 1} - t_{i + 1}} \\cdot N_{i + 1, p - 1}(t)\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":77,"value":"\nmd`\nBár a fenti definíció összetettnek tűnik, valójában rendkívül egyszerű. Ha ${tex`p`} értéke ${tex`0`}, akkor a súlyfüggvény ${tex`1`}-et vesz fel, ha ${tex`t`} benne van az ${tex`i`}-edik csomótartományban, és ${tex`0`}-t egyébként.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":99,"value":"$32","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":127,"value":"md`\nA magasabb fokszámú definíció pedig két alacsonyabb fokszámú súlyfüggvény kombinációjaként áll elő.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":130,"value":"\nmd`\nA számítás menetét egy háromszöghöz hasonló sémával illusztrálhatjuk:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":131,"value":"$33","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":135,"value":"md`\nA háromszög legalján (az ábrán a második oszlop) a rekurzió alapesetei, a nulladfokú súlyfüggvények szerepelnek. Adott ${tex`t`} esetén ezek értékét rögtön ki tudjuk számolni. Ezután léphetünk feljebb a háromszögben. ${tex`N_{i, 1}(t)`} meghatározásához szükség van két nulladfokú súlyfüggvény értékére, melyeket előzőleg számoltunk ki. Ezeket a súlyfüggvény definíciójának megfelelően kombináljuk, majd pedig feljebb lépünk a következő szintre. Ezt addig ismételjük, amíg az adott ${tex`t`} és ${tex`p`} értékekre az összes ${tex`N_{i, p}(t)`} érték elő nem állt.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":137,"value":"$34","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":154,"value":"md`\nLáthatjuk a 2. ábrán is, hogy minél jobban növeljük a fokszámot, annál több csomótartományra támaszkodik egy adott súlyfüggvény. Ez azt is jelenti, hogy a paramétertartománynak egyre nagyobb részén fog nullától különböző értéket felvenni. Fogalmazzuk meg ezt az összefüggést részletesebben!\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":156,"value":"md`### A súlyfüggvények és a csomótartományok kapcsolata`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":158,"value":"md`\nAz előbb felírt háromszög-séma alapján vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással a súlyfüggvények és a csomótartományok!\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":160,"value":"md`\nAhogy már arról szó volt, minden ${tex`N_{i, 1}(t)`} értéket két nulladfokú súlyfüggvényérték, ${tex`N_{i, 0}(t)`} és ${tex`N_{i + 1, 0}(t)`} alapján határozhatunk meg. Mivel az említett két súlyfüggvény a ${tex`[t_i, t_{i+1})`} és a ${tex`[t_{i + 1}, t_{i+2})`} csomótartományokon vesz csak fel nullától különböző értéket, ezért ${tex`N_{i, 1}(t)`} is e két tartományon lesz nullától különböző.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":162,"value":"md`\nHa eggyel feljebb lépünk, hasonlót figyelhetünk meg ${tex`N_{i, 2}(t)`} esetén is, mely két elsőfokú súlyfüggvénytől, ${tex`N_{i, 1}(t)`}-től és ${tex`N_{i + 1, 1}(t)`}-től függ. Ezek két-két nulladfokú súlyfüggvényre támaszkodnak, melyek közül kettő azonban azonos, így három különböző marad. Ennek következében a másodfokú súlyfüggvények három csomótartományon vesznek fel nullától különböző értéket.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":164,"value":"md`\nMegfigyelésünket a következőképpen foglalhatjuk össze:\n\n> Az ${tex`N_{i, p}(t)`} súlyfüggvény ${tex`p + 1`} darab szomszédos csomótartományon vesz fel nullától különböző értéket, melyek együttesen a ${tex`[t_i, t_{i + p + 1})`} intervallumnak felelnek meg.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":166,"value":"md`\nFordítva, a csomótartományok szempontjából is megfogalmazhatunk egy hasonló kijelentést:\n\n> A ${tex`[t_i, t_{i + 1})`} csomótartományon legfeljebb ${tex`p + 1`} darab ${tex`p`}-edfokú súlyfüggvény vesz fel nullától különböző értéket, melyek az ${tex`N_{i - p, p}(t), N_{i - p + 1, p}(t), \\ldots, N_{i, p}(t)`} súlyfüggvények.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":174,"value":"md`### A súlyfüggvények együtthatói`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":176,"value":"md`\nAz előző megfigyelések ismeretében már könnyedén megfejthetjük, hogy mi a jelentése a magasabb fokú esetet leíró ágban az együtthatóknak. Emékeztetőül álljon itt ${tex`p > 0`} esetén ${tex`N_{i, p}(t)`} definíciója:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":178,"value":"\ntex.block`\nN_{i, p}(t) = \\frac{t - t_i}{t_{i + p} - t_i} \\cdot N_{i, p - 1}(t) + \\frac{t_{i + p + 1} - t}{t_{i + p + 1} - t_{i + 1}} \\cdot N_{i + 1, p - 1}(t).\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":180,"value":"\nmd`\nEz a definíció két alacsonyabb fokú függvényre, ${tex`N_{i, p-1}(t)`}-re és ${tex`N_{i + 1, p - 1}(t)`}-re támaszkodik. Az előbbi a ${tex`[t_i, t_{i + p})`} tartományon lesz nullától különböző. Tehát a ${tex`\\frac{t - t_i}{t_{i + p} - t_i}`} tört nevezője ennek a tartománynak a hossza. Ha ${tex`t`} az előbb említett intervallumon belül van, akkor a számláló nem lesz más, mint ${tex`t`} távolsága az intervallum bal szélétől. \n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":182,"value":"\nmd`\nHasonlóan írhatjuk le a másik együtthatót is. Tudjuk, hogy ${tex`N_{i + 1, p - 1}(t)`} nullától különböző értékkel rendelkezik a ${tex`[t_{i + 1}, t_{i + p + 1})`} intervallumon. Az együttható nevezője ennek az intervallumnak a hossza. Ha ${tex`t`} benne van ebben a tartományban, akkor a számláló ${tex`t`} távolsága az intervallum jobb szélétől.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":195,"value":"md`## B-Spline görbe`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":198,"value":"md`\nA súlyfüggvények áttekintése után írjuk fel a B-Spline görbe definícióját! Legyenek adottak a ${tex`P_0, P_1, \\ldots, P_{n}`} kontrollpontok, a görbe ${tex`1 \\leq p \\leq n`} foka és az ${tex`U = [t_0, t_1, \\ldots, t_{n + p + 1}]`} csomóvektor! Azaz a kontrollpontok száma ${tex`n + 1`}, a csomóké pedig ${tex`n + p + 2`}. Az ezen adatok által meghatározott B-Spline görbe a következő:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":200,"value":"\ntex.block`\nb(t) = \\sum\\limits_{i = 0}^{n} N_{i, p}(t) \\cdot P_i \\qquad t \\in [t_p, t_{n + 1}]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":203,"value":"md`\nEz lesz az úgynevezett NUBS, azaz **N**em-**U**niform **B**-**S**pline görbe definíciója. Ennek speciális esete (ha ${tex`U`} uniform) az Uniform B-Spline görbe.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":205,"value":"md`### A paramétertartomány`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":207,"value":"$35","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":212,"value":"md`### Demonstráció`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":328,"value":"md`A NUBS demonstráció egyelőre a régi jegyzetben található meg, a következő címen:`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":360,"value":"md`\n > http://nbviewer.jupyter.org/github/kompgraf/course-material/blob/master/notebooks/05-b-spline/05-b-spline.ipynb#Demonstr%C3%A1ci%C3%B3\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":214,"value":"md`### A végpontok interpolációja`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":216,"value":"$36","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":219,"value":"md`### Tulajdonságok`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":222,"value":"$37","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":225,"value":"md`### Mátrix alak`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":227,"value":"md`\nÍrjuk fel a harmadfokú, uniform B-Spline görbe mátrix alakját! Ekkor tehát ${tex`p = 3`} és adott ${tex`n + 1 \\geq 4`} kontrollpont. A csomók legyenek oly módon adottak, hogy ${tex`t_i = i`}.\n\nEkkor a görbét leíró függvény\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":229,"value":"\ntex.block`\nb(t) = \\sum\\limits_{i = 0}^{n} N_{i, 3}(t) \\cdot P_i.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":231,"value":"\nmd`\nMivel a csomóvektor uniform, ezért az egyes ${tex`N_{i, 3}(t)`} függvények mindegyike az ${tex`N_{0, 3}(t)`} függvény eltoltja lesz. Emiatt elég az ${tex`N_{0, 3}(t)`} súlyfüggvény leírnunk. A görbe definíciója ennek ismeretében a következő formára egyszerűsödik:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":233,"value":"\ntex.block`\nb(t) = \\sum\\limits_{i = 0}^{n} N_{0, 3}(t - i) \\cdot P_i\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":235,"value":"\nmd`\nÍrjuk fel az összes olyan súlyfüggvényt, melyre ${tex`N_{0, 3}(t)`} támaszkodik!\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":243,"value":"md`#### Nulladfokú súlyfüggvények`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":246,"value":"tex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{0, 0}(t) &= \n \\begin{cases}\n 1, & \\text{ha } 0 \\leq t < 1 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{1, 0}(t) &= \n \\begin{cases}\n 1, & \\text{ha } 1 \\leq t < 2 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{2, 0}(t) &= \n \\begin{cases}\n 1, & \\text{ha } 2 \\leq t < 3 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{3, 0}(t) &= \n \\begin{cases}\n 1, & \\text{ha } 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases}\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":248,"value":"md`#### Elsőfokú súlyfüggvények`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":251,"value":"md`\nAz elsőfokú súlyfüggvényeket a következőképpen írhatjuk fel:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":253,"value":"\ntex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{0, 1}(t) &= t \\cdot N_{0, 0}(t) + (2 - t) \\cdot N_{1, 0}(t) \\\\\nN_{1, 1}(t) &= (t - 1) \\cdot N_{1, 0}(t) + (3 - t) \\cdot N_{2, 0}(t) \\\\\nN_{2, 1}(t) &= (t - 2) \\cdot N_{2, 0}(t) + (4 - t) \\cdot N_{3, 0}(t)\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":254,"value":"md`\nFelhasználva a nulladfokú súlyfüggvényeket, írjuk fel az elsőfokúakat is szakaszosan definiált formában:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":257,"value":"\ntex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{0, 1}(t) &= \n \\begin{cases}\n t, & 0 \\leq t < 1 \\\\\n 2 - t, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{1, 1}(t) &= \n \\begin{cases}\n t - 1, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n 3 - t, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{2, 1}(t) &= \n \\begin{cases}\n t - 2, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n 4 - t, & 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases}\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":258,"value":"md`#### Másodfokú súlyfüggvények`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":260,"value":"md`\nFolytassuk a sort a másodfokú súlyfüggvényekkel, először a hagyományos definíciót, majd a szakaszosan definiált formát alkalmazva:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":262,"value":"\ntex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{0, 2}(t) &= \\frac{t}{2} \\cdot N_{0, 1}(t) + \\frac{3 - t}{2} \\cdot N_{1, 1}(t) \\\\\nN_{1, 2}(t) &= \\frac{t - 1}{2} \\cdot N_{1, 1}(t) + \\frac{4 - t}{2} \\cdot N_{2, 1}(t)\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":263,"value":"tex.block`\n\\begin{aligned}\nN_{0, 2}(t) &= \n \\begin{cases}\n \\frac{t^2}{2}, & 0 \\leq t < 1 \\\\\n \\frac{t \\cdot (2 - t)}{2} + \\frac{(3 - t)(t - 1)}{2}, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n \\frac{(3 - t)^2}{2}, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\nN_{1, 2}(t) &= \n \\begin{cases}\n \\frac{(t - 1)^2}{2}, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n \\frac{(t - 1) \\cdot (3 - t)}{2} + \\frac{(4 - t)(t - 2)}{2}, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n \\frac{(4 - t)^2}{2}, & 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases}\n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":265,"value":"md`#### A harmadfokú súlyfüggvény`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":268,"value":"md`\nA szakaszosan definiált forma előtt írjuk fel az ${tex`N_{0, 3}(t)`} függvényt is a definíció szerinti alakjában:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":271,"value":"\ntex.block`\nN_{0, 3}(t) = \\frac{t}{3} N_{0, 2}(t) + \\frac{4 - t}{3} N_{1, 2}(t).\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":272,"value":"md`\nAz alacsonyabb fokú súlyfüggvények és azok intervallumai segítségével most már könnyedén felírhatjuk az ${tex`N_{0, 3}(t)`} szakaszosan definiált formáját:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":275,"value":"\ntex.block`\nN_{0, 3}(t)=\n\\begin{cases}\n \\frac{1}{6}t^3, & 0 \\leq t < 1 \\\\\n \\frac{1}{6}(-3t^3 + 12t^2 -12t + 4), & 1 \\leq t < 2 \\\\\n \\frac{1}{6}(3t^3-24t^2+60t-44), & 2 \\leq t < 3 \\\\\n \\frac{1}{6}(-t^3 +12t^2-48t +64), & 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases} \\\\\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":276,"value":"md`#### Mátrix alakú egyenlet`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":278,"value":"md`\nMivel a görbénk harmadfokú, ezért minden szegmenst négy kontrollpont fog meghatározni. Az ${tex`i`}-edik szegmenst tehát a ${tex`P_i, P_{i + 1}, P_{i + 2}, P_{i + 3}`} pontok fogják befolyásolni. Jelölje ${tex`G_i`} az ezekből a kontrollpontokból képzett mátrixot.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":280,"value":"\nmd`\nA ${tex`t`} paraméterből képzett mátrixot jelölje ${tex`T(t)`}, és legyen a következő formában adott:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":282,"value":"\ntex.block`\nT(t) =\n\\begin{bmatrix}\nt^3 \\\\\nt^2 \\\\\nt \\\\\n1\n\\end{bmatrix}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":284,"value":"\nmd`\nEkkor az ${tex`i`}-edik szegmenst a következő függvény segítségével írhatjuk le:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":286,"value":"\ntex.block`\n\\gamma_i(t) = G_iMT(t) \\qquad t \\in [0, 1]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":288,"value":"\nmd`\nAhol ${tex`M`} az egyelőre még ismeretlen együtthatómátrix. Vegyük észre, hogy ez a függvény a ${tex`[0, 1]`} intervallum fölött van definiálva, viszont az előző ${tex`N_{0, 3}`} függvény ${tex`[0, 4]`} fölött. Emiatt át kell írnunk az ${tex`N_{0, 3}`} súlyfüggvényt, hogy az egyes pontokra egyidejűleg különböző ágait tudjuk alkalmazni, de mindenhova ${tex`[0, 1]`} tartománybeli ${tex`t`} értékeket írva, ahogy az a ${tex`GMT(t)`} formulában is szerepel! Ekkor\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":290,"value":"\ntex.block`\nN_{0, 3}(t)= \\frac{1}{6}\n\\begin{cases}\n t^3, & 0 \\leq t < 1 \\\\\n -3t^3 + 12t^2 -12t + 4, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n 3t^3-24t^2+60t-44, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n -t^3 +12t^2-48t +64, & 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases}\n= \\frac{1}{6}\n\\begin{cases}\n t^3, & 0 \\leq t < 1 \\\\\n -3(t - 1)^3 + 3(t - 1)^2 +3(t - 1) + 1, & 1 \\leq t < 2 \\\\\n 3(t-2)^3-6(t-2)^2+4, & 2 \\leq t < 3 \\\\\n -(t - 3)^3+3(t - 3)^2-3(t -3) +1, & 3 \\leq t < 4 \\\\\n 0, & \\text{egyébként}\n \\end{cases}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":292,"value":"\nmd`\nEzután már nem ${tex`t`} együtthatóiból, hanem a ${tex`(t - x)`} kifejezések együtthatóiból fog felépülni a mátrix:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":294,"value":"\ntex.block`\nM = \\frac{1}{6}\n\\begin{bmatrix}\n-1 & 3 & -3 & 1 \\\\\n3 & -6 & 0 & 4 \\\\\n-3 & 3 & 3 & 1 \\\\\n1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\\end{bmatrix}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":296,"value":"\nmd`\nE módon gyakorlatilag négy darab súlyfüggvényt kapunk, melyek az egyes szegmensek megfelelő pontjaihoz tartoznak. Ábrázoljuk ezeket a súlyfüggvényeket!\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":309,"value":"$38","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":307,"value":"md`\nA teljes görbét úgy tudjuk kirajzolni, hogy négyesével vesszük a kontrollpontokat, ezzel ${tex`G`} mátrixot képezve belőlük. Ezután az így kapott mátrixot behelyettesítjük a ${tex`\\gamma(t)`} függvénybe, és a ${tex`t`} paramétert ${tex`0`} és ${tex`1`} között végigfuttatjuk. ${tex`n + 1`} darab pont esetén ezt összesen ${tex`n - 2`} alkalommal megismételve előáll a teljes görbe.`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":367,"value":"md`## Racionális B-Spline görbe`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":369,"value":"md`\nEddig csupa polinomiális görbetípussal foglalkoztunk, melyek egyre jobb és jobb tulajdonságokkal bírtak. Azonban akárhogyan próbálkozunk, ezek nem képesek bizonyos görbék pontos leírására. Például a NUBS segítségével nem tudunk pontosan kört vagy ellipszist leírni.\n\nA probléma megoldását a racionális görbék jelentik, a B-Spline racionális változatát NURBS-nek, azaz **N**em-**U**niform **R**acionális **B**-**S**pline görbének nevezik.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":371,"value":"md`### Súlyok`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":373,"value":"md`\nA NURBS görbéhez újabb nem-geometriai paraméterekre, úgynevezett súlyokra van szükség. Minden kontrollpont rendelkezni fog egy súllyal, mely nullánál nagyobb értéket kell, hogy felvegyen. Az ${tex`i`}-edik kontrollpont súlyát ${tex`w_i`}-vel fogjuk jelölni.\n\nA súlyoknak nem a konkrét értéke a fontos, hanem az egymáshoz viszonyított aránya. Ha az összes kontrollpont súlya ${tex`10`}, akkor ugyanazt a görbét kapjuk, mint ha mindegyiknek a súlya ${tex`0{,}1`} lenne. \n\nMinél nagyobb súllyal rendelkezik egy kontrollpont a többihez képest, annál inkább hatással lesz a görbe alakjára; a görbe annál jobban megközelíti az adott pontot.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":375,"value":"md`### Definíció`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":378,"value":"md`\nLegyenek adottak a ${tex`P_0, P_1, \\ldots, P_{n}`} kontrollpontok, a ${tex`w_0, w_1, \\ldots, w_n`} súlyok, a görbe ${tex`p`} foka, és az ${tex`U`} csomóvektor. Ekkor a NURBS görbét a következő függvény írja le:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":407,"value":"tex.block`\nQ(t) = \\sum_{i=0}^{n}R_{i, p}(t)P_i \\qquad t \\in \\lbrack t_p, t_{n + 1} \\rbrack,\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":409,"value":"md`\nahol ${tex`R_{i, p}`} az ${tex`i`}-edik ${tex`p`}-edfokú NURBS súlyfüggvény:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":411,"value":"\ntex.block`\nR_{i, p}(t) = \\frac{N_{i, p}(t) \\cdot w_i}{\\sum\\limits_{j = 0}^{n}N_{j, p}(t) \\cdot w_j}.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":413,"value":"md`\nTehát a NURBS annyiban különbözik a NUBS görbétől, hogy a kontrollpontok kombinációjának súlyozott átlagát vesszük.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":380,"value":"md`### Demonstráció`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":384,"value":"md`\nA NURBS demonstráció egyelőre a régi jegyzetben található meg, a következő címen:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":397,"value":"md`\n> http://nbviewer.jupyter.org/github/computer-graphics-master/course-material/blob/0edc0d85eda0a35b4a188455479c43e12f1fb3b5/notebooks/hf-02-nurbs/hf-02-nurbs.ipynb#Demonstr%C3%A1ci%C3%B3\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":86,"value":"md`## Függelék`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":89,"value":"glMatrix = require('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/gl-matrix/2.8.1/gl-matrix.js')","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":91,"value":"regl = require('regl')","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":93,"value":"import {\n $drawing,\n $curves,\n $figure,\n $maths,\n $styling,\n $plot,\n $utility\n} from '@battila7/kompgraf-stdlib'","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":95,"value":"import {\n checkbox,\n slider,\n number\n} from \"@jashkenas/inputs\"","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":105,"value":"$$styling.css.twoColumnContainer","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":108,"value":"$$styling.css.figure","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":110,"value":"$$styling.css.plot","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":326,"value":"$39","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":319,"value":"mutable cp_NUBS = []","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":321,"value":"mutable knots_NUBS = []","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"},{"id":323,"value":"mutable p_NUBS = 2","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined","output":"$undefined","database":"$undefined"}],"files":"$W3a","stdlib":"1","titling":"auto"}} 30:"$2f:body"