31:T471,plt = Plot.plot({ caption:html` Exakt samplingfördelning för en andel baserat på binomialfördelning.
Normalapproximation. `, color: { legend: true }, x: { label: "andelen i stickprovet", axis: true, domain: [0,1] }, y: { axis: false, domain: [0,1.05*maxpdf] }, marks: [ Plot.areaY(pdfbinom.map(d => ({x: d.x, pdf: d.pdf*(maxpdf/maxbinompdf)})), {x: "x", y: "pdf", curve: "step", fill: "orange", opacity: 0.5}), Plot.ruleY([0]), //Plot.ruleX([userinputs[1]], {stroke: "orange", strokeWidth: 2}), Plot.line(datapdf, {x: "x", y: "pdf", stroke : "steelblue", strokeWidth: 3}), //Plot.text([{x: userinputs[1], y: maxpdf*0.2}], {x: "x", y: "y", text: d => "p = "+ d.x}), //Plot.areaY(datapdf, {filter: d => d.x >= userinputs[2] + userinputs[1], x: "x", y: "pdf", fill: "dist", opacity: 0.2}), //Plot.areaY(datapdf, {filter: d => d.x <= userinputs[2] - userinputs[1], x: "x", y: "pdf", fill: "dist", opacity: 0.2}), ] })32:[] 2f:{"title":"Stora talens lag för en andel","cells":[{"id":620,"value":"# Stora talens lag för en andel","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":0,"value":"text1 = md`\n**Stora talens lag** säger att om du [singlar en krona](https://g.co/kgs/3deymt) ett stort antal gånger kommer den relativa frekvensen av *Krona* att stabiliseras kring sannolikheten för Krona, dvs ${tex`p=0.5`}, om myntet är schysst.\n\nI den interaktiva grafen nedan kan du experimentera med antalet slantsinglingar ${tex`n`} och sannolikheten att få Krona i varje kast ${tex`p`}.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":834,"value":"text2 = md`\nProva:\n\n💪 Öka antalet slantsinglingar ${tex`n`} och se hur den relativa frekvensen av\n*Krona* stabiliseras kring ${tex`0.5`}.
\n💪 Ändra sannolikheten för Krona ${tex`p`} och se hur den relativa frekvensen\nstabilseras runt just den sannolikheten ${tex`p`}.\n\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":897,"value":"viewof samplesize = Inputs.range([1, 1000], {value: 10, label: tex`n`, step: 1})","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":895,"value":"viewof p = Inputs.range([0.001, 0.999], {value: 0.5, label: tex`p`, step: 0.001})","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":901,"value":"pltkonv = {\n return Plot.plot({\n y: { label: \"medelvärde\", domain: [0,1]},\n x: { label: \"antal observationer\"},\n marks: [\n Plot.ruleX([0]),\n Plot.lineY([{x: 0, y: p},{x: samplesize, y: p}], {x: \"x\", y: \"y\", stroke: \"orange\"}),\n Plot.lineY(running_means, {x: \"x\", y: \"y\", stroke: \"steelblue\"})\n ]\n})\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":623,"value":"### Stora talens lag för Bernoullivariabler","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":568,"value":"### Bernoulli och stora talens lag\n\nVi kan registrera resultaten från den ${tex`i`}:te slantsinglingen i en\nslumpvariabel ${tex`X_i`} \n\n${tex`\nX_i = \n\\begin{cases}\n 1\\text{ om Krona}\\\\\n 0\\text{ om Klave}\n\\end{cases}\n`}\n\nSekvensen av slumpvariabler ${tex`X_1,X_2,...,X_n`} är då oberoende\nBernoullifördelade med sannolikheten ${tex`p`}. Den relativa frekvensen från\nslantsinglingen är nu helt enkelt medelvärdet\n\n${tex`\n\\bar X_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n X_i\n`} \n
\ndär vi använder ${tex`n`} som\nsubscript för att tydligt tala om att medelvärdet beror på antalet\nobservationer/variabler ${tex`n`}. Vi kan nu uttrycka stora talens lag lite\nannorlunda:","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":577,"value":"> Medelvärdet av oberoende Bernollifördelade variabler med sannolikheten ${tex`p`} kommer att stabiliseras kring ${tex`p`} när ${tex`n`} ökar.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":579,"value":"För en binär variabel som Bernoulli är väntevärdet ${tex`\\operatorname{E}(X)`}\nlika med sannolikheten för att lyckas ${tex`p`}, dvs ${tex`\\operatorname{E}(X)=p`}.\nVi kan alltså uttrycka stora talens lag än lite annorlunda:","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":581,"value":">

**Informell version av stora talens lag för Bernoullivariabler**
\n> Medelvärdet av oberoende Bernollifördelade variabler med sannolikheten\n> ${tex`p`} kommer att stabiliseras kring variablernas väntevärde\n> ${tex`\\operatorname{E}(X)=p`} när ${tex`n`} ökar.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":1007,"value":"I den interaktiva grafen nedan kan du undersöka hur samplingfördelningen för stickprovsandelen ${tex`\\hat p`} blir alltmer koncentrerad kring populationsandelen ${tex`p`} när stickprovsstorleken ${tex`n`} ökar. Grafen använder en normalapproximation\n\n${tex`\\hat p \\sim N\\Big(\\mu = p,\\sigma = \\sqrt{\\frac{pq}{n}}\\Big)`}\n\nsom kräver att stickprovstorlek och förväntat antal lyckade och misslyckade försök är tillräckligt stora. Grafen visar också om dessa villkor är uppfyllda eller inte.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":1013,"value":"normalapproxtext = md`#### Normalapproximation av samplingfördelningen för en andel`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":930,"value":"viewof userinputs = Inputs.form([\n Inputs.range([1,50000], {transform: Math.log, value: 30, step: 1, label: tex`n`}),\n Inputs.range([0.01, 0.99], {value: 0.5, step: 0.01, label: tex`p`})\n])","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":965,"value":"condition_sample_size = {\n if (sample_size_condition)\n {\n return md`👍 Stickprovet ${tex`n=${userinputs[0]}`} är större än 30. `\n }\n else\n {\n return md`❌ Stickprovet ${tex`n=${userinputs[0]}`} är mindre än 30. `\n }\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":985,"value":"condition_successes = {\n if (number_success_condition)\n {\n return md`👍 Antal förväntade lyckade ${tex`np=${(userinputs[0]*userinputs[1]).toPrecision(3)}`} är större än 10.`\n }\n else\n {\n return md`❌ Antal förväntade lyckade ${tex`np=${(userinputs[0]*userinputs[1]).toPrecision(3)}`} är mindre än 10.`\n }\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":990,"value":"condition_failure = {\n if (number_failure_condition)\n {\n return md`👍 Antal förväntade misslyckade ${tex`nq=${(userinputs[0]*(1-userinputs[1])).toPrecision(3)}`} är större än 10.`\n }\n else\n {\n return md`❌ Antal förväntade lyckade ${tex`nq=${(userinputs[0]*(1-userinputs[1])).toPrecision(3)}`} är mindre än 10.`\n }\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":934,"value":"$31","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":875,"value":"#### En mer generell och precis beskrivning av stora talens lag\n\nNotebooken [stora talens lag](https://observablehq.com/@mattiasvillani/stora-talens-lag-allman) ger en mycket mer precis beskrivning av stora talens lag i det mer allmänna fallet där data kommer från godtycklig fördelning, t ex normalfördelning.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":566,"value":"
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n---\n## 🙈 Appendix 🙈\n\nHär följer bara kod och detaljer som du antagligen inte vill läsa.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":657,"value":"jstat = require('jstat')","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":936,"value":"#### Data","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md"},{"id":938,"value":"datapdf = {\n const n = userinputs[0];\n const p = userinputs[1];\n const x = d3.range(0,1, 0.001);\n const normpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.normal.pdf( x, p, Math.sqrt(p*(1-p)/n)), dist: \"samplingfördelningen för andelen\"}));\n return normpdf\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":947,"value":"maxpdf = jstat.normal.pdf( userinputs[1], userinputs[1], Math.sqrt(userinputs[1]*(1-userinputs[1])/userinputs[0]))","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":880,"value":"xall = Array.from({length: 1000}, d3.randomBernoulli(p))","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":891,"value":"running_means = xall.slice(0, samplesize).map(function(x, i) {\n return { x: i + 1, y: d3.mean(xall.slice(0, i + 1)) };\n });","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":1043,"value":"pdfbinom = d3.range(userinputs[0] + 1).map(d => ({x:d/userinputs[0], pdf: jstat.binomial.pdf(d, userinputs[0], userinputs[1])}))","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":1110,"value":"maxbinompdf = d3.max(pdfbinom.map(d => d.pdf))","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":957,"value":"sample_size_condition = userinputs[0] >= 30","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":960,"value":"number_success_condition = userinputs[0]*userinputs[1] >= 10","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":962,"value":"number_failure_condition = userinputs[0]*(1-userinputs[1]) >= 10","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":591,"value":"viewof md_colour = Inputs.color({label: \"Highlight color cells\", value: \"#F5F5DC\"})","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs"}],"files":"$W32","stdlib":"1","titling":"auto"}