2b:null 2c:["$","title",null,{"children":"Princípio da Indução Finita | Luiz Felipe Machado Barboza | Observable"}] 31:T827,md` (Clique [aqui](https://observablehq.com/d/e2f6b9a0bdc04967#firstMember) para pular direto para a prática.) O princípio da indução finita é um método matemático de demonstração que é amplamente utilizado para provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um determinado número inicial. O princípio é baseado em dois passos: Passo base: verifica-se que a propriedade é verdadeira para o número inicial. Passo de indução: supõe-se que a propriedade é verdadeira para um número natural arbitrário ${tex`k`} e, em seguida, prova-se que a propriedade também é verdadeira para o número seguinte ${tex`k + 1`}. Ao provar o passo base e o passo de indução, pode-se concluir que a propriedade é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais ao número inicial. O princípio da indução finita é amplamente utilizado em diversos ramos da matemática, incluindo álgebra, análise, teoria dos números, combinatória e teoria dos conjuntos. Ele é um dos princípios fundamentais da matemática e é frequentemente utilizado para provar teoremas e resultados importantes em diversas áreas. ----- **Princípio da Indução Finita.** Para qualquer proposição ${tex`P`} envolvendo números naturais e para qualquer subconjunto ${tex`A`} dos números naturais que contém o número ${tex`m`}, se a proposição ${tex`P`} é verdadeira para o número ${tex`m`} e se para todo número natural ${tex`k`} maior ou igual a ${tex`m`} que está no subconjunto ${tex`A`}, a veracidade de ${tex`P(k)`} implica a veracidade de ${tex`P(k + 1)`}, então a proposição ${tex`P`} é verdadeira para todo número natural ${tex`n`} maior ou igual a ${tex`m`} que está no conjunto dos números naturais.

Ver notação formal

${tex`\forall P\forall A\forall m[(A \subseteq \mathbb{N} \land m \in A \land \forall k[(k \in A \land k \geq m) \rightarrow (P(k) \rightarrow P(k+1))]) \rightarrow (\forall n[(n \in \mathbb{N} \land n \geq m) \rightarrow P(n)])]`}

------- `32:Tab2,md` ------- Provar que ${tex`\forall n \in \mathbb{N}, n \geq ${lowerBound}`} ${tex`P(n): \overbrace{${toTex(evaluate(n(1)))}}^{n_0} + \overbrace{${toTex(evaluate(n(2)))}}^{n_1} + \overbrace{${toTex(evaluate(n(3)))}}^{n_2} + \cdots + \overbrace{${toTex(firstMember)}}^{n} = ${toTex(secondMember)}`} ------- **Passo base:** verifica-se que a propriedade é verdadeira para o número inicial. ------- a) Verificar que ${tex`P(n)`} é verdadeira para ${tex`n = ${lowerBound}`} (Base da Indução) ${tex`P(${lowerBound})\begin{cases} \text{1º membro: }${toTex(equal(b1, b1.evaluate()))}\\ \text{2º membro: }${toTex(equal(b2, b2.evaluate()))} \end{cases}`} ------- ${b1.evaluate() == b2.evaluate() ? html`

Portanto ${tex`P(n)`} é válida para ${tex`n = ${lowerBound}`}

` : html`

Portanto ${tex`P(n)`} não é válida para ${tex`n = ${lowerBound}`}

`} ------- **Passo de indução**: supõe-se que a propriedade é verdadeira para um número natural arbitrário ${tex`k`} e, em seguida, prova-se que a propriedade também é verdadeira para o número seguinte ${tex`k + 1`}. ------- b) Supor que ${tex`P(n)`} é verdadeira para ${tex`n = k`} (Hipótese de Indução) ${tex`P(k): \underbrace{${toTex(h1)}}_\text{HI1} = \underbrace{${toTex(h2)}}_\text{HI2}`} ------- c) Provar que ${tex`P(n)`} é verdadeira para ${tex`n = k + 1`} (Tese) ${tex`P(k + 1): \underbrace{\underbrace{${toTex(h1)}}_\text{HI1} + ${toTex(n("k + 1"))}}_\text{T1} = \underbrace{${toTex(t2)}}_\text{T2}`} ------- Já que, por hipótese^[b] , ${tex`HI1`} é igual a ${tex`HI2`}, ao manipular ${tex`T1`} é possível substituir um pelo outro. ------- **Manipulando T1** ${tex`\underbrace{${toTex(h1)}}_\text{HI1} + ${toTex(n("k + 1"))} =`}

${tex`\underbrace{${toTex(h2)}}_\text{HI2} + ${toTex(n("k + 1"))} =`}

Expandir simplificação

${t1Steps.slice(0, t1Steps.length - 1).map(step => tex`${toTex(step) + " ="}`.outerHTML).join("

")}

${tex`${toTex(t1Std)}`} ------- **Manipulando T2** ${tex`${toTex(t2)} =`}

Expandir simplificação

${t2Steps.slice(0, t2Steps.length - 1).map(step => tex`${toTex(step) + " ="}`.outerHTML).join("

")}

${tex`${toTex(t2Std)}`} ------- ${b1.evaluate() == b2.evaluate() && t1Std.equals(t2Std) ? html`

Portanto, pelo PIF, ${tex`P(n)`} é válida ${tex`\forall n \in \mathbb{N}, n \geq ${lowerBound}`}

` : html`

Não foi possível concluir que ${tex`P(n)`} é válida ${tex`\forall n \in \mathbb{N}, n \geq ${lowerBound}`}

`} ------- `33:[] 2f:{"id":"e2f6b9a0bdc04967","slug":null,"title":"Princípio da Indução Finita","thumbnail":"25f64553097737254972f5b6870b3e35ba9df50fb2472d42d5606c444b93e9e8","access_level":"public","create_time":"$D2023-04-28T22:23:58.313Z","update_time":"$D2023-05-10T20:09:34.984Z","view_time":null,"first_public_time":"$D2023-04-28T22:23:58.313Z","has_unpublished_edits":null,"fork":false,"stars":0,"starred":false,"owner":{"type":"team","id":"8d2cbae887e5ae8d","login":"luizbarboza","name":"Luiz Felipe Machado Barboza","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/0e18c16ea4e23e56e55c3f33bafae84b216c6b7e1cfaa70506052a8860de119b","tier":"starter_2024"},"version":1138,"publish_version":null,"role":null,"authored":false,"authors":[{"type":"individual","id":"1c454cbd1261243a","login":"luizbarboza","name":"Luiz Felipe Machado 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