Unlisted
Edited
Mar 22, 2023
2 stars
Problema. Invenire summam seriei
ubi a, b, c, d, e sunt m quantitates diversae, atque n numerus integer quicunque positivus, negativus sive etiam 0.
Solutio. Faciendo brevitatis caussa
ita ut summa quaesita, quam per Sm denotabimus, fiat = αan + ßbn + γcn + δdn + etc.: manifestum est, si x exprimat quantitatem indeterminatam , ex evolutione aggregati
in seriem secundum potestates ipsius x ascendentem, prodire
Statuatur ..., eritque Q functio integra indeterminatae x, ad ordinem m^tum ascendens; PQ autem fiet functio integra ordinis m-1 puta =
Qua propius considerata, patebit, per substitutionem x = 1/a omnes partes praeter primam evanescere, hanc vero abire in
Simili modo per substitutionem x = 1/b evanescent omnes partes praeter secundam, quae fit = 1/b^{m-1} transit PQ in 1/c^{m-1}, 1/d^{m-1} etc. Hinc vero sequitur, PQ - x^{m-1} per omnes has substitutiones valorem 0 obtinere , quod fieri nequit , nisi fuerit identice = 0, sive PQ = x^{m-1}; alioquin enim aequatio PQ - x^{m-1} = 0, quae non maioris quam m—1 ordinis est, m radices diversas 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, ... haberet.
Iam sit
...
nempe A summa quantitatum a, b, c, d . . .; B summa productorum e binis; C summa productorum e ternis etc., patetque, quum ex evolutione fractionis x^{m-1}/Q = P prodire debeat
...
primo: esse debere S^0 = 0, S^1 = 0, S^2 = 0 etc. usque ad S^{m-2} = 0*), tunc vero fieri S^{m-1} = 1, S^m = A, tandemque terminos ulteriores tamquam membra seriei recurrentis per legem sequentem determinari:
...
Facile quidem hinc colligitur S^{m+1} esse = aa + bb + cc + ... + B sive summam quadratorum cum summa omnium productorum e binis diversis quantitatum a, b, c, d . . .; sed quo clarius perspiciatur quonam modo termini sequentes ex elementis a, b, c, d ... formentur , observamus 1/Q esse productum e seriebus
...
....
2.
Applicabimus disquisitionem praecedentem ad eum casum, ubi quantitatibus a, b, c, d valores imaginarii tribuuntur: hac ratione ad quasdam insignes relationes perfacile perveniemus, quae alia methodo tractatae maiores difficultates obiicerent. Sit E basis logarithmorum naturalium, i quantitas imaginaria √-1; consideremus loco quantitatum realium a, b, c... imaginarias E^ia, E^ib, E^ic, E^id, ..., statuamusque
... = S^n, atque
... = T^n
.......
One platform to build and deploy the best data apps
Experiment and prototype by building visualizations in live JavaScript notebooks. Collaborate with your team and decide which concepts to build out.
Use Observable Framework to build data apps locally. Use data loaders to build in any language or library, including Python, SQL, and R.
Seamlessly deploy to Observable. Test before you ship, use automatic deploy-on-commit, and ensure your projects are always up-to-date.