misc = md` ## 雑談 ${tex`n=3`} のとき，急に正規分布っぽくなったように見えるが，実はこれは3つの二次関数を切り貼りした形になっている．だまされた気分！

${tex.block` f_Y(y)=\begin{cases} \color{red}{y^2/2}&(0\leq y<1),\\ \color{blue}{-(y-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}}&(1\leq y<2),\\ \color{green}{(3-y)^2/2}&(2\leq y\leq 3). \end{cases} `} 種明かし：${tex`[0:1)`} の3つの一様乱数 ${tex`X_1, X_2, X_3`} をそれぞれ x,y,z 軸にとると，可能な組み合わせは一辺の長さが1の立方体の内部の点に対応する．例えば，3つの和が最小の0となるのは原点 (0,0,0) で，最大の3となるのは頂点 (1,1,1) である．下の図では一番奥の頂点が原点 (0,0,0)，一番手前の頂点が (1,1,1) ，${tex`Y=X_1+X_2+X_3`} の可能な値 ${tex`y`} は，ベクトル (1,1,1) を法線とする立方体の断面を構成し，${tex`y`} を最小値0から最大値3へと増やしていくと，対応する断面は赤（三角形）から青（六角形），緑（逆三角形）へとシフトしていく．ある ${tex`y`} をとる確率はこの断面を構成する ${tex`X_1, X_2, X_3`} の可能な組み合わせの密度に比例する．例えば，赤の三角錐の体積（確率） ${tex`V`} は直交する各3辺の長さを ${tex`x`} とすると ${tex`V(x)=x^3/6`} である．したがって，${tex`x`} を0から1まで変化させたときの増分，すなわちシフトする断面が持つ確率密度は ${tex`dV/dx=x^2/2`} になる．これが ${tex`0\leq y<1`} における確率密度関数 ${tex`f_Y(y)=y^2/2`} に対応する．青と緑の体積についても同様．