2d:null 2e:["$","title",null,{"children":"Stora talens lag | Mattias Villani | Observable"}] 33:[] 31:{"id":"c484bb2064980aba","slug":"stora-talens-lag-allman","title":"Stora talens lag","thumbnail":"2b94325be7c0e87c31e01a4f11beeed1e8ac3434f0ee7264de6d2894ea8d4274","access_level":"public","create_time":"$D2023-01-26T20:00:22.865Z","update_time":"$D2023-12-02T22:53:19.500Z","view_time":null,"first_public_time":"$D2023-01-26T20:00:22.865Z","fork":{"id":"66b7856da8d45e43","slug":"stora-talens-slantsingling","title":"Stora talens lag för en andel","owner":{"id":"7592a7ab121f74a0","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani"}},"stars":0,"starred":false,"owner":{"type":"team","id":"7592a7ab121f74a0","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":"pro_2024"},"version":964,"publish_version":null,"role":null,"authored":false,"authors":[{"type":"individual","id":"56499be8cf43f0ef","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":null}],"members":[{"type":"individual","id":"56499be8cf43f0ef","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":null,"role":"editor"}],"comments":[],"custom_thumbnail":true,"trashed":false,"subscribed":null,"forks":1,"collection":{"id":"209e13808f44ed11","slug":"sda1","title":"SDA1","owner":{"id":"7592a7ab121f74a0","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani"}},"type":"notebook","body":{"title":"Stora talens lag","cells":[{"id":620,"value":"# Stora talens lag","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":625,"value":"### Stora talens lag för allmänna slumpvariabler\n\nI notebooken [stora talens lag - slantsingling](https://observablehq.com/@mattiasvillani/stora-talens-slantsingling) såg vi att andelen *Krona* i ett stort antal slantsinglingar stabiliserades kring sannolikheten ${tex`p`} för *Krona*. Vi formulerade detta som att medelvärdet av ett stort antal Bernoulli-fördelade variabler\n\n${tex`\nX_i = \n\\begin{cases}\n 1\\text{ om Krona}\\\\\n 0\\text{ om Klave}\n\\end{cases}\n`}\n\nstabiliserades kring Bernoulli-sannolikheten ${tex`p`}.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":583,"value":"Stora talens lag gäller inte bara\nBernoullifördelade variabler, utan *alla* oberoende slumpvariabler med\nändlig varians. Våra variabler ${tex`X_1,X_2,...,X_n`} kan t ex vara oberoende\nobservationer från en normalfördelning\n${tex`X_i \\overset{\\mathrm{ober}}{\\sim} \\operatorname{N}(\\mu,\\sigma^2)`}.\nMedelvärdet av dessa variabler kommer alltså att stabiliseras kring\nväntevärdet ${tex`\\mu=\\operatorname{E}(X)`} när stickprovstorleken ${tex`n`} ökar. Om ${tex`X_1,X_2,...,X_n`} är oberoende observation från en exponentialfördelning med parameter ${tex`\\lambda`} så säger stora talens lag att medelvärdet kommer stabiliseras kring väntevärdet i denna exponentialfördelning: ${tex`\\mathrm{E}(X)=\\frac{1}{\\lambda}`}.
\n\n> Medelvärdet av ett stort antal observationer kommer alltid att vara mycket nära väntevärdet i populationen, när vi har stora stickprov.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":867,"value":"Låt oss undersöka hur medelvärdet ${tex`\\bar X_n`} av slumpvariabler från normalpopulations\n\n${tex`X_1,X_2,\\ldots,X_n \\overset{\\mathrm{iid}}{\\sim} \\operatorname{N}(\\mu,\\sigma^2)`} \n\nstabiliseras kring väntevärdet ${tex`\\mu`}. Notera att vi använder subscriptet ${tex`n`} under ${tex`\\bar X_n`} för att tydligt visa att medelvärdet är baserat på ett stickprov av ${tex`n`} observationer.\n\nI figuren nedan kan du öka stickprovsstorleken ${tex`n`} och se hur medelvärdet stabiliseras kring ${tex`\\mu`}.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":921,"value":"viewof samplesize = Inputs.range([1, 1000], {value: 10, label: tex`n`, step: 1})","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":932,"value":"Parametrar:","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":881,"value":"viewof param = Inputs.form([\n Inputs.range([-5, 5], {value: 0, label: tex`\\mu`, step: 0.01}),\n Inputs.range([0.01, 5], {value: 1, label: tex`\\sigma`, step: 0.01})\n])","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":914,"value":"pltkonv = {\n return Plot.plot({\n y: { label: \"medelvärde\"},\n x: { label: \"antal observationer\"},\n marks: [\n Plot.ruleX([0]),\n Plot.lineY([{x: 0, y: param[0]},{x: samplesize, y: param[0]}], {x: \"x\", y: \"y\", stroke: \"orange\"}),\n Plot.lineY(running_means, {x: \"x\", y: \"y\", stroke: \"steelblue\"})\n ]\n})\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":585,"value":"### 😱 Matematisk formulering som konvergens i sannolikhet 😱","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":635,"value":"Den matematisk korrekta beskrivningen av stora talens lag kräver (mycket) mer förkunskaper i matematisk analys än vad som krävs för SDA1. För den som har läst lite extra matematik (eller som tycker om när det svartnar framför ögonen) ges lite mer info här.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":587,"value":">

**Stora talens lag**
\nOm ${tex`X_1,X_2,...,X_n`} är oberoende likafördelade slumpvariabler från en\nfördelning med väntevänte ${tex`\\mu`} och ändlig varians så gäller att\n\n>

${tex`\n \\bar X_n \\overset{P}{\\rightarrow} \\mu \\text{ när }n\\rightarrow \\infty,\n`}

\n>

vilket utläses som ${tex`\\bar X_n`} *konvergerar i sannolikhet* mot\nväntevärdet ${tex`\\mu`} när ${tex`n`} går mot oändligheten (${tex`\\infty`}). ","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":612,"value":"Den matematiska termen *konvergerar i sannolikhet* skrev vi tidigare mer informellt som *stabiliseras kring*. Den exakta matematiska definitionen är","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":589,"value":">

**Konvergens i sannolikhet**
\n${tex`\n \\bar X_n \\overset{P}{\\rightarrow} \\mu`} innebär att för alla positiva tal ${tex`\\epsilon`} har vi att

\n${tex`\n\\lim_{n\\rightarrow \\infty} P(\\vert \\bar X_n -\\mu \\vert >\\epsilon) = 0\n`}

\nDvs att ${tex`\\bar X_n`} avviker med mer än ${tex`\\epsilon`}\nfrån ${tex`\\mu`} blir alltmer osannolikt när ${tex`n`} ökar. Och det gäller oavsett hur hårda krav vi har på att ${tex`\\bar X_n`} ska vara nära ${tex`\\mu`}, dvs för alla positiva ${tex`\\epsilon`}. ","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":775,"value":"textNormalPop = md`För att få en känsla för vad stora talens lag innebär kan vi titta på fördelningen för ${tex`\\bar X`} när data kommer från populationen \n\n${tex`X_1,X_2,\\ldots,X_n \\overset{\\mathrm{iid}}{\\sim} \\operatorname{N}(\\mu,\\sigma^2)`} \n\nI det här fallet med normalfördelade observation kan man visa att samplingfördelningen för medelvärdet är\n\n${tex`\\bar X \\sim \\operatorname{N}(\\mu,\\sigma^2/n)`}\n\nI figuren nedan kan du välja ett ${tex`\\epsilon`} och sen observera hur samplingsfördelning för ${tex`\\bar X`} blir alltmer koncentrerad kring populationsväntevärdet ${tex`\\mu`} när du ökar stickprovsstorleken ${tex`n`}.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":691,"value":"viewof userinputs = Inputs.form([\n Inputs.range([1,50000], {transform: Math.log, value: 1, step: 1, label: tex`n`}),\n Inputs.range([0.001, 1], {value: 0.1, step: 0.001, label: tex`\\epsilon`}),\n Inputs.range([1, 5], {value: 3, step: 0.001, label: tex`\\mu`}),\n Inputs.range([0.1, 5], {value: 0.2, step: 0.1, label: tex`\\sigma`})\n])","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":767,"value":"Sannolikheten att ${tex`\\bar X`} hamnar längre än ${tex`\\epsilon`} bort från väntevärdet ${tex`\\mu`} (ljusblå area):","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":722,"value":"prob_within_eps = tex`P(\\vert \\bar X_n -\\mu \\vert >${userinputs[1]}) = ${(jstat.normal.cdf(userinputs[2] - userinputs[1], userinputs[2], userinputs[3]/Math.sqrt(userinputs[0])) + (1-jstat.normal.cdf(userinputs[2] + userinputs[1], userinputs[2], userinputs[3]/Math.sqrt(userinputs[0])))).toPrecision(4)}`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":672,"value":"plt = Plot.plot({\n color: {\n legend: true\n },\n x: {\n label: \"medelvärdet, xBar\",\n axis: true,\n domain: [userinputs[2] - 3*userinputs[3], userinputs[2] + 3*userinputs[3]]\n },\n y: {\n axis: false\n },\n marks: [\n Plot.ruleY([0]),\n Plot.ruleX([userinputs[2]], {label: \"hej\"}),\n Plot.line(datapdf, {x: \"x\", y: \"pdf\", stroke : \"steelblue\", strokeWidth: 2}),\n Plot.areaY(datapdf, {filter: d => d.x >= userinputs[2] + userinputs[1], x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"dist\", opacity: 0.2}),\n Plot.areaY(datapdf, {filter: d => d.x <= userinputs[2] - userinputs[1], x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"dist\", opacity: 0.2}), \n ]\n })","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":566,"value":"
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n---\n## 🙈 Appendix 🙈\n\nHär följer bara kod och detaljer som du antagligen inte vill läsa.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":657,"value":"jstat = require('jstat')","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":885,"value":"xall = d3.range(1000).map( x => jstat.normal.sample(param[0],param[1]))","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":890,"value":"running_means = xall.slice(0, samplesize).map(function(x, i) {\n return { x: i + 1, y: d3.mean(xall.slice(0, i + 1)) };\n });","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":662,"value":"datapdf = {\n const x = d3.range(userinputs[2]-3*userinputs[3], userinputs[2]+3*userinputs[3], 0.001);\n const normpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.normal.pdf( x, userinputs[2], userinputs[3]/Math.sqrt(userinputs[0])), dist: \"samplingfördelningen för medelvärdet i en normalpopulation\"}));\n return normpdf\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":6,"value":"d3 = require('d3-selection@1', 'd3-array@2', 'd3-random@2', 'd3-format@1')","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":591,"value":"viewof md_colour = Inputs.color({label: \"Highlight color cells\", value: \"#F5F5DC\"})","pinned":true,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"}],"files":"$W33","stdlib":"1","titling":"auto"}} 32:"$31:body"