2b:null 2c:["$","title",null,{"children":"Student-t fördelning (standard version) | Mattias Villani | Observable"}] 31:T4e9,### Student-*t* fördelningen som modell för data *t*-fördelningen är också intressant som en modell för data eftersom den har tyngre svansar än normalfördelningen. En fördelning med **tunga svansar** har mycket sannolikhetsmassa långt ut till vänster och långt ut till höger, dvs i fördelningens s k svansar. Om man modellerar data med en fördelning med tunga svansar innebär alltså att data kan ha extrema värden, väldigt låga värden, eller väldigt höga. Det är ofta intressant i praktiken. Ett exempel är när man modellerar aktieavkastning under turbulenta dagar: aktien kan öka kraftigt i värde 📈🎉, men tyvärr också minska drastiskt i värde 📉😩. När man använder *t*-fördelningen som en modell för data vill man naturligtvis tillåta fördelningen att ha ett väntevärde som inte nödvändigtvis är noll och även en varians som kan skilja sig från 1. Lyckligtvis finns en generalisering av *t*-fördelningen tillåter godtyckligt väntevärde och varians. Den nyfikne kan läsa mer om det på [wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution#Generalized_Student's_t-distribution) eller titta på denna notebook: [allmän student-t fördelning](student-t-fordelning-allman-version).32:[] 2f:{"id":"c7c15ac36c4abef7","slug":"student-t","title":"Student-t fördelning (standard version)","thumbnail":"339810af93450acd2d32df55031d65c6d0bce0626c5e380ea72f87fb1426bc8b","access_level":"public","create_time":"$D2023-01-02T15:36:41.593Z","update_time":"$D2023-11-05T11:24:09.010Z","view_time":null,"first_public_time":"$D2023-01-02T15:36:41.593Z","fork":false,"stars":0,"starred":false,"owner":{"type":"team","id":"7592a7ab121f74a0","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":"pro_2024"},"version":486,"publish_version":null,"role":null,"authored":false,"authors":[{"type":"individual","id":"56499be8cf43f0ef","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":null}],"members":[{"type":"individual","id":"56499be8cf43f0ef","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani","avatar_url":"https://avatars-next.observableusercontent.com/a440aaf39a3abefb86cbcc758fd7a5ab42555ae68d6825b52ec006f385a94d1d","tier":null,"role":"editor"}],"comments":[],"custom_thumbnail":true,"trashed":false,"subscribed":null,"forks":2,"collection":{"id":"209e13808f44ed11","slug":"sda1","title":"SDA1","owner":{"id":"7592a7ab121f74a0","login":"mattiasvillani","name":"Mattias Villani"}},"type":"notebook","body":{"title":"Student-t fördelning (standard version)","cells":[{"id":38,"value":"# Student-*t* fördelning (standard version)","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":481,"value":">

${tex`X\\sim t_\\nu(0,1)`}, för ${tex`X \\in (-\\infty,\\infty)`}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":406,"value":"### Modell","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":408,"value":"moments = tex`\n\\begin{aligned}\n&X \\sim t_{\\nu}(0,1) \\\\[1em]\n&E( X) =0 \\text{ om }\\nu > 1 \\\\[1em]\n&Var( X) = \\frac{\\nu}{\\nu-2}\\text{ om } \\nu >2 \n\\end{aligned}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":0,"value":"### Inferens för populationsväntevärdet ${tex`\\mu`} när variansen är okänd\n\nStudent-*t* fördelningen dyker bl a upp när man gör inferens för väntevärdet ${tex`\\mu`} i en normalfördelad population där variansen ${tex`\\sigma^2`} är *okänd* och måste skattas med stickprovsvariansen ${tex`s^2`}. Vi vet då att","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":56,"value":">

Om ${tex`X_1,X_2,\\ldots,X_n`} är oberoende observationer från ${tex`\\operatorname{N}(\\mu,\\sigma^2`}) så följer det standardiserade stickprovmedelvärdet en *t*-fördelning med ${tex`\\nu = n-1`} frihetsgrader:\n\n>

${tex`\\frac{\\bar X -\\mu}{s/\\sqrt{n}}\\sim t_{n-1}`}

\n ","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":78,"value":"$31","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":86,"value":"### Tunga svansar in action - jämförelse med normalfördelningen\n\nI den interaktiva grafen nedan kan du utforska hur *t*-fördelningens svansar blir tyngre när man minskar frihetsgraderna ${tex`\\nu`}. Du kan ändra antalet frihetsgrader och även kvantilen för sannolikheten. Den skuggade ytan visar sannolikheten att få ett värde lägre än kvantilvärdet som du angett.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":101,"value":"💪 Prova fallet med ${tex`\\nu=1`}, vilket är den s k [Cauchy-fördelningen](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution). Minska kvantilen till *-4* och notera den stora skillnaden i sannolikheten ${tex`P(X\\leq -4)`} mellan normal- och Cauchyfördelningen. Ett utfall lägre än *-4* (t ex 4 procents minskning av aktiens värde under en dag) är i princip omöjligt om du modellerar data med normalfördelning. Men med Cauchyfördelningen är det definitivt möjligt 😱. Vilken modell som är mest korrekt beror på hur data ser ut. För aktieavkastningar är normalfördelningens svansar nästan alltid för tunna.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":135,"value":"💪 Prova att successivt öka frihetgraderna upp till ${tex`\\nu=50`}. Notera att *t*-fördelningen är extremt lik normalfördelningen när ${tex`\\nu=50`}. De tunga svansarna är borta. \n\nMan kan visa matematiskt att när ${tex`\\nu`} ökar så blir *t*-fördelningen alltmer lik normalfördelningen. Vi säger att *t*-fördelningen *konvergerar* mot normalfördelningen när ${tex`\\nu\\rightarrow\\infty`} (dvs när frihetsgraderna växer mot oändligheten).","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":118,"value":"viewof myinputs = Inputs.form([\n Inputs.range([1, 50], {value: 4, step: 1, label: tex`\\text{Frihetsgrader }\\nu:`}),\n Inputs.range([-10, 10], {value: -1.96, step: 0.01, label: \"Kvantil:\"})\n ])","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":9,"value":"tailprobs = tex`\\text{Normalfördelning: } P(X\\leq ${myinputs[1]})=${normcdf.toPrecision(4)} \\\\ \\text{Student-}t \\text{ fördelning: } P(X\\leq ${myinputs[1]})=${studentcdf.toPrecision(4)}`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":305,"value":"plt = Plot.plot({\n color: {\n legend: true\n },\n x: {\n label: \"x\",\n axis: true\n },\n y: {\n axis: false,\n domain: [0,0.4]\n },\n marks: [\n Plot.ruleY([0]),\n Plot.line(data, {x: \"x\", y: \"pdf\", stroke : \"dist\", strokeWidth: 2}),\n Plot.areaY(data, {filter: d => d.x <= myinputs[1] && d.dist == \"normal\", x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"steelblue\", opacity: 0.2}),\n Plot.areaY(data, {filter: d => d.x <= myinputs[1] && d.dist == \"student-t\", x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"orange\", opacity: 0.2}),\n \n ]\n })","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":449,"value":"### Zooma in på vänstersvansen","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":313,"value":"\nFiguren ovan visar mycket tydliga skillnader mellan normal- och student-*t* fördelningen för låga frihetsgrader. Men även vid t ex ${tex`\\nu =10`} är det enorma skillnader i täthetsfunktionens värde för värden långt ut i svansarna, vilket illustreras i följande graf som zoomar in på vänstersvansen.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":451,"value":"viewof myinputs_zoom = Inputs.form([\n Inputs.range([1, 100], {value: 10, step: 1, label: tex`\\text{Frihetsgrader }\\nu:`}),\n Inputs.range([-8, -3], {value: -5, step: 0.01, label: \"Kvantil:\"})\n ])","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":396,"value":"dens_ratio = tex`\\text{Kvoten mellan täthetsfunktionerna för student-}t\\text{ och normalfördelning i punkten }x=${myinputs_zoom[1]}\\text{ är }${\n(jstat.studentt.pdf(myinputs_zoom[1], myinputs_zoom[0])/jstat.normal.pdf(myinputs_zoom[1],0,1)).toLocaleString()\n}.`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":308,"value":"Plot.plot({\n caption: html`Inzoomad vänstersvans.`,\n color: {\n legend: true\n },\n x: {\n label: \"x\",\n axis: true,\n ticks: [-8,-7,-6,-5,-4,-3, myinputs_zoom[1]],\n domain: [-8,-3]\n },\n y: {\n axis: true,\n domain: [0,0.01]\n },\n marks: [\n Plot.ruleY([0]), \n Plot.ruleX([-10]), \n Plot.ruleX([myinputs_zoom[1]], {stroke: \"gray\", strokeOpacity: 0.4}),\n Plot.line(data_zoom, {filter: d => d.x <= -3, x: \"x\", y: \"pdf\", stroke : \"dist\", strokeWidth: 2}),\n //Plot.areaY(data, {filter: d => d.x <= myinputs[1] && d.dist == \"normal\", x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"steelblue\", opacity: 0.2}),\n //Plot.areaY(data, {filter: d => d.x <= myinputs[1] && d.dist == \"student-t\", x: \"x\", y: \"pdf\", fill: \"orange\", opacity: 0.2}),\n ]\n })","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":109,"value":"
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n---\n## 🙈 Appendix 🙈\n\nHär följer bara kod och detaljer som du antagligen inte vill läsa.","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":221,"value":"#### Imports","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":26,"value":"jstat = require('jstat')","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":223,"value":"#### Data","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":17,"value":"data = {\n const x = d3.range(-10, 10, 0.01);\n const normpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.normal.pdf(x, 0, 1), dist: \"normal\"}));\n const studentpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.studentt.pdf(x, myinputs[0]), dist: \"student-t\"}));\n const data = normpdf.concat(studentpdf)\n return data\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":461,"value":"data_zoom = {\n const x = d3.range(-10, -3, 0.01);\n const normpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.normal.pdf(x, 0, 1), dist: \"normal\"}));\n const studentpdf = x.map(x => ({x: x, pdf: jstat.studentt.pdf(x, myinputs_zoom[0]), dist: \"student-t\"}));\n const data = normpdf.concat(studentpdf)\n return data\n}","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":19,"value":"normcdf = jstat.normal.cdf(myinputs[1], 0, 1);","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":23,"value":"studentcdf = jstat.studentt.cdf(myinputs[1], myinputs[0]);","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":229,"value":"#### Style","pinned":false,"hidden":false,"mode":"md","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":202,"value":"","pinned":false,"hidden":false,"mode":"html","author":"$undefined","summary":"$undefined"},{"id":58,"value":"viewof md_colour = Inputs.color({label: \"Highlight color cells\", value: \"#F5F5DC\"})","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs","author":"$undefined","summary":"$undefined"}],"files":"$W32","stdlib":"1","titling":"auto"}} 30:"$2f:body"